\chapter{Mathématiques}
\label{chap-maths} 
\begin{epigraphe}{L'Évangile selon Saint Matthieu Mt \textbf{10} 2}
Voici les noms des douze apôtres :\\
en tête Simon que l'on appelle Pierre [...]
\end{epigraphe}

\begin{introchap}{Un des aspects}
  pratique et rigolo\footnote{Si, si ! Il y a même des gens qui font
    des formules juste pour le plaisir !} de \LaTeX{} est bien sûr la
  génération de formules mathématiques ; elles seront naturellement
  belles, sans que vous n'ayez à faire quoique ce soit\footnote{Ou
    alors juste deux ou trois petites choses...}. De plus, si vous avez
  un mauvais souvenir d'un certain éditeur d'équations, réjouissez
  vous : vous n'avez pas besoin de souris pour écrire des équations !
  La génération d'équations avec \LaTeX{} est un domaine
  particulièrement vaste. Nous présenterons ici les bases requises
  pour produire les formules « usuelles ». Ce chapitre ne constitue
  donc qu'une petite introduction à la manipulation des formules avec
  \LaTeX{}.
\begin{note}
  Les commandes standard de \LaTeX{} permettent de produire la plupart
  des équations mathématiques usuelles. Il est cependant conseillé
  d'utiliser les extensions de l'\emph{American Mathematical Society}
  nommées \ltxpack{amsmath} et \ltxpack{amssymb} simplifiant la mise
  en forme dans beaucoup de situations.
\end{note}
\end{introchap}

\section{Les deux façons d'écrire des maths}\label{sec-deuxmod}
\index{mathématiques!modes} \index{equation@équation} \LaTeX{}
distingue deux manières d'écrire des mathématiques. La première
consiste à insérer une formule dans le texte, comme ceci :
$ax+b=c$, la seconde à écrire une ou plusieurs formules dans
un environnement, par exemple :
\begin{displaymath}
\mathrm{d}U=\delta\mathcal{W}+\delta\mathcal{Q}
\end{displaymath}
sachant que chacun de ces deux modes respectent un certain nombre de
principes quant à la taille et la position des différents symboles.  Voici
un exemple avec les deux modes :
\begin{ltxexemple}
      Déterminer la fonction dérivée
      de $f(x)$ :
      \begin{displaymath}
        f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}
      \end{displaymath}
      si elle existe.
\end{ltxexemple}
\index{\$} Cet exemple nous montre donc que l'on entre en mode
mathématique « interne » grâce au symbole \verb+$+, et que le même
symbole \verb+$+ permet d'en sortir. D'autre part, on utilise ici
l'environnement \ltxenv{displaymath} qui est le plus simple pour
produire des équations. Ce dernier peut être saisi grâce aux
commandes~\ltxcom{[} et~\ltxcom{]} (cf.  \S~\vref{sec-dspmath}).

 Nous vous présenterons au
\S~\ref{sec-envmath} les différents environnements de \LaTeX{}.

\section{Commandes usuelles}
\subsection{Indice et exposant}
\index{indice} \index{exposant} Comme mentionné au
\S~\vref{sec-carspec}, \verb+_+ et \verb+^+ sont les commandes
permettant de produire respectivement \emph{indice} et
\emph{exposant}.  Il est nécessaire de « grouper » les arguments entre
accolades pour que ces commandes agissent sur plusieurs symboles.
\begin{center}
  {\setlength{\extrarowheight}{6pt}
    \begin{tabular}{ll|ll|ll}
      \verb+x_2+& $x_2$ &\verb+x_{2y}+ & $x_{2y}$ & \verb+x_{t_0}+& $x_{t_0}$ \\
      \hline
      \verb+x^2+& $x^2$ &\verb+x^{2y}+ & $x^{2y}$ & \verb+x_{t^0}+& $x_{t^0}$ \\
      \hline
      & &\verb+x^{2y}_{t_0}+ & $x^{2y}_{t_0}$ & \verb+x_{t^1}^{2y}+& $x_{t^1}^{2y}$
    \end{tabular}}
\end{center}

\subsection{Fraction et racine}
\index{fraction} \index{racine} Voici comment produire \emph{racines}
et \emph{fractions} :
\begin{itemize}
\item la commande
  \ltxcom{frac}\verb+{+\marg{num}\verb+}{+\marg{denom}\verb+}+ produit
  une fraction formée par le numérateur \marg{num} et le dénominateur
  \marg{denom} ;
\item la commande \ltxcom{sqrt}\verb+[+\marg{n}\verb+]{expr}+ affiche la
  racine \marg{n}\ieme{} de son argument \marg{arg}.
\end{itemize}
Notons que ces deux commandes ne produisent pas le même affichage
selon le mode mathématique : interne ou équation.  Ainsi voici une
fraction : $\frac{1}{\sin x +1 }$ et une racine : $\sqrt{3x^2 -1}$ et
leur équivalent en mode équation :
\begin{displaymath}
\frac{1}{\sin x +1 }\quad \sqrt{3x^2 -1}
\end{displaymath}

Pour en finir avec ces deux commandes, voyons comment elles peuvent
être imbriquées et l'effet que cela produit :
\begin{ltxexemple}
  \begin{displaymath}
    \sqrt{\frac{1+\sqrt[3]{3x+1}}
               {3x+\frac{1-x}{1+x}}}
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}

\subsection{Symboles}
\label{sec-symb}

\subsubsection{Symboles usuels}
\index{symboles mathématiques} \index{mathématiques!symboles} Le
tableau \vref{tab-mathsymb} donne les macros produisant une partie des
symboles dont vous pourriez avoir besoin.
\begin{table}[htbp]
  \caption{Symboles mathématiques usuels}
  \label{tab-mathsymb}
  \begin{agrandirmarges}{1.1cm}{1.1cm}
  \begin{center}
    \leavevmode
    \begin{tabular}{clclclcl}
      \verb+\pm+       & $\pm$  & \verb+\otimes+      &  $\otimes$ & 
      \verb+\cong+     & $\cong$  & \verb+\imath+     &  $\imath$     \\
      \verb+\mp+       & $\mp$  & \verb+\oslash+      &  $\oslash$ &  
      \verb+\subset+   & $\subset$  & \verb+\jmath+   &  $\jmath$     \\
      \verb+\div+      & $\div$  & \verb+\odot+       &  $\odot$     & 
      \verb+\supset+   & $\supset$  & \verb+\ell+     &  $\ell$         \\
      \verb+\ast+      & $\ast$  & \verb+\leq+        &  $\leq$       & 
      \verb+\subseteq+ & $\subseteq$  & \verb+\aleph+ &  $\aleph$     \\
      \verb+\times+    & $\times$  & \verb+\geq+      &  $\geq$       & 
      \verb+\supseteq+ & $\supseteq$  & \verb+\nabla+ &  $\nabla$     \\
      \verb+\bullets+  & $\bullet$  & \verb+\equiv+   &  $\equiv$   & 
      \verb+\in+       & $\in$      & \verb+\|+       &  $\|$         \\
      \verb+\circ+     & $\circ$  & \verb+\ll+        &  $\ll$         & 
      \verb+\ni+       & $\ni$    & \verb+\partial+   &  $\partial$  \\
      \verb+\star+     & $\star$  & \verb+\gg+     &  $\gg$         & 
      \verb+\emptyset+ & $\emptyset$  & \verb+\wedge+ &  $\wedge$     \\
      \verb+\setminus+ & $\setminus$  & \verb+\sim+ &  $\sim$       & 
      \verb+\forall+   & $\forall$  & \verb+\vee+   &  $\vee$         \\
      \verb+\oplus+    & $\oplus$  & \verb+\simeq+    &  $\simeq$   & 
      \verb+\infty+    & $\infty$  & \verb+\cup+    &  $\cup$         \\
      \verb+\ominus+   & $\ominus$  & \verb+\approx+   &  $\approx$ & 
      \verb+\exists+   & $\exists$  & \verb+\cap+   &  $\cap$   
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{agrandirmarges}
\end{table}

\framanouvellepage
\begin{note}
  Nous avons recensé près de \voir[ch.]{sec-mathsymb}{450 symboles}
  disponibles avec les packages \ltxpack{latexsym} et
  \ltxpack{amssymb}. Notre but n'est donc pas de les présenter ici !
  Le tableau \vref{tab-mathsymb} est une sélection parmi les symboles
  standard. Nous avons jugé qu'ils faisaient partie des symboles les
  plus utiles ---~ce qui, malgré la présence tout à fait fortuite de
  l'aleph dans ce tableau, démontre que le niveau en mathématiques de
  l'auteur de ce document avoisine le ras des pâquerettes.
\end{note}

\subsubsection{Points de suspension}
\index{points de suspension} On utilise couramment pour économiser de
l'encre des points de suspension dans des formules. Il en existe de
trois types.  La commande \ltxcom{dots} produit des points « posés »
sur la ligne :
\begin{ltxexemple}
  $C=\{\vec{c}_0,\vec{c}_1,\dots,
       \vec{c}_N\}$ 
  est l'ensemble des $N$ couleurs.
\end{ltxexemple}
La commande \ltxcom{cdots} produit des points centrés verticalement
sur le signe égal :
\begin{ltxexemple}
  $\vec{\mu}=\frac{1}{N}
  (\vec{c}_0+\vec{c}_1+\cdots+\vec{c}_N)$ 
  est la moyenne des $N$ couleurs.
\end{ltxexemple}
Enfin les commandes \ltxcom{vdots} et \ltxcom{ddots} sont à utiliser
essentiellement dans les matrices (cf. \S~\ref{sec-array} et
l'exemple~\ref{ex-maths-matrice}). Ces deux commandes produisent
respectivement : $\vdots$ et $\ddots$.

\subsubsection{Flèches}
\index{flèches}
Voici un moyen simple pour mémoriser les commandes permettant de
générer des flèches :
\begin{itemize}
\item toutes les commandes finissent par \verb+arrow+ ;
\item le préfixe obligatoire \verb+left+ ou \verb+right+ indique la
  direction ;
\item le préfixe facultatif \verb+long+ donne une version longue ;
\item la première lettre de la commande mise en majuscule rend la
  flèche double ;
\item on peut mettre des flèches aux deux extrémités en collant les
  deux mots \verb+left+ et \verb+right+.
\end{itemize}
ainsi : 
\begin{center}
  \begin{agrandirmarges}{1cm}{1cm}
  \begin{tabular}{lll|lll}
    \verb+\rightarrow+ & donne  &$\rightarrow$ &
    \verb+\Longleftarrow+ & donne & $\Longleftarrow$ \\
    \verb+\Leftarrow+ & donne &$\Leftarrow$ &
    \verb+\Longleftrightarrow+ & donne &$\Longleftrightarrow$
  \end{tabular}
\end{agrandirmarges}
\end{center}


\subsubsection{Lettres grecques}
\index{lettres grecques} Les lettres grecques s'utilisent de la
manière la plus simple qui soit : en les appelant par leur nom. Ainsi
: \ltxcom{alpha} donne « $\alpha$ » et \ltxcom{pi}, « $\pi$ ».  Mettre une
majuscule à la première lettre de la commande, donne la majuscule
correspondante : \ltxcom{Gamma} donne « $\Gamma$ ». Attention, toutes
les majuscules ne sont pas disponibles dans l'alphabet grec, on mettra
par exemple $\alpha$ en majuscule, avec la lettre A (la commande
\verb+\Alpha+ n'existe pas).


\subsubsection{L'ensemble des réels}

Une question « cruciale » que se posent les rédacteurs potentiels de
documents scientifiques est : « Comment peut/doit-on écrire le `R' de
l'ensemble des réels ? ». Les avis sont partagés à ce sujet.
Historiquement il semble qu'initialement, dans les ouvrages de
mathématiques, le symbole des réels était typographié en gras (« Soit
$x \in \mathbf{R}$ ») et que les professeurs pour reprendre ces
notations sur un tableau avec une craie avaient recours à l'artifice
de repasser plusieurs fois sur la lettre « R » ; cette pratique pénible
aurait évoluée vers l'écriture « bien connue » : « Soit $x \in
\mathbbm{R}$ ».  Il y a donc les adeptes du $\mathbf{R}$, du
$\mathbb{R}$, etc. Pour choisir par soi-même, voir les packages :
%D Je ne le remarque que là, mais pourquoi utiliser les guillemets à
%D l'anglaise (` et ') et pas ceux à la française (« et ») pour les
%D citations ?
\begin{itemize}
\item \ltxpack{bbm} qui propose la commande \ltxcom{mathbbm}\verb+{R}+
  produisant $\mathbbm{R}$, la commande \ltxcom{mathbbmss}\verb+{R}+
  produisant $\mathbbmss{R}$, etc.
\item \ltxpack{bbold} qui propose la commande
  \ltxcom{mathbbm}\verb+{R}+ produisant $\mathbbm{R}$, etc.
\item \ltxpack{amssymb} qui propose les commandes
  \ltxcom{mathbb}\verb+{R}+ produisant $\mathbb{R}$
  \ifframabookversion ainsi que \else et \fi
  \ltxcom{mathbf}\verb+{R}+ produisant $\mathbf{R}$
\end{itemize}

\section{Fonctions}

\subsection{Fonctions standards}
\index{fonction mathématiques} \index{mathématiques!fonctions}
Lorsqu'on veut produire des fonctions mathématiques classiques
(logari\-thmes, trigonométrie,...), il faut utiliser les fonctions de
\LaTeX{} prévues à cet effet.  Voici un exemple pour vous en
convaincre.
\begin{ltxexemple}
  $\sin^2x + \cos^2 x=1$
\end{ltxexemple}
\enlargethispage{2cm}
Et sans les fonctions \LaTeX{} :
\begin{ltxexemple}
  $sin^2x + cos^2x=1$
\end{ltxexemple}
\framanouvellepage
La différence réside dans le fait que \LaTeX{} traite la chaîne
\verb+cos+ comme une suite de variable (donc produites en italiques)
alors que la fonction \ltxcom{cos} produit « cos » en roman. Une autre
différence importante est le placement d'éventuels indices (cf.
l'exemple de la fonction \ltxcom{max} ci-dessous). Parmi les
fonctions mathématiques standard de \LaTeX{}, on trouvera :
\begin{itemize}
\item toutes les fonctions trigonométriques  : \ltxcom{sin},
\ltxcom{cos} et \ltxcom{tan}. En rajoutant \verb+arc+ devant, vous aurez
les réciproques, et \verb+h+ derrière vous obtiendrez les versions
hyperboliques.
\item les logarithmes népérien et décimal définis respectivement par
les fonctions \ltxcom{ln} et \ltxcom{log}.
\item les fonctions \ltxcom{sup}, \ltxcom{inf}, \ltxcom{max},
  \ltxcom{min}, et \ltxcom{arg} qui vous permettront de générer des
  formules de ce genre :
\end{itemize}
\begin{ltxexemple}
  \begin{displaymath}
    T=\arg \max_{t<0} f(t)
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}
Notez l'utilisation de l'opérateur indice \verb+_+ et le placement résultant
avec la commande \ltxcom{max}.

\subsection{Intégrales, sommes et autres limites}\label{sec-sumintlim}
\LaTeX{} utilise une syntaxe simple permettant de  produire \emph{intégrales},
\emph{sommes}, etc. La syntaxe est la suivante :

\verb+\+\marg{op}\verb+_{+\marg{inf}\verb+}^{+\marg{sup}\verb+}+

où \marg{op} est l'un des opérateurs \verb+sum+, \verb+prod+,
\verb+int+ ou \verb+lim+ et \marg{inf} et \marg{sup} sont les bornes
inférieure et supérieure de la somme ou de l'intégrale.  Ainsi on peut
donc écrire :
\index{somme}
\index{$\sum$}
\begin{ltxexempleenv}
  \begin{ltxexempleinput}
    Somme des termes d'une suite
    géométrique :
    \begin{displaymath}
      \sum_{i=0}^{n}q^i=
      \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
    \end{displaymath}
  \end{ltxexempleinput}
  \setlength{\hauteurdutrait}{1.5cm}%
  \dessinemoiletrait%
  \begin{ltxexempleoutput}
    Somme des termes d'une suite
    géométrique :
    \begin{displaymath}
      \sum_{i=0}^{n}q^i=\frac{\quad\:1-q^{n+1}}{1-q}
    \end{displaymath}
  \end{ltxexempleoutput}
\end{ltxexempleenv}
Le produit $\prod$ s'utilise de manière analogue avec la commande
\ltxcom{prod}.  Un exemple avec une intégrale, en veux-tu en voilà :
\index{produit} \index{$\prod$} \index{intégrale} \index{$\int$}
\begin{ltxexemple}
  On définit le logarithme 
  népérien de $x>0$ comme suit :
  \begin{displaymath}
    \ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}
    \,\mathrm{dt}
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}
La commande \ltxcom{,} insère un léger blanc avant le « dt »
(cf. \S~\ref{sec-maths-espace}). Si vous êtes plutôt \emph{curviligne},
vous pouvez utiliser \ltxcom{oint} qui donne : $\oint$.  Bon, je vous
donne juste un exemple avec une limite mais c'est bien parce que c'est
vous : \index{limite}
\begin{ltxexemple}
  $f(x)$ admet une limite $\ell$ en $x_0$ :
  \begin{displaymath}
    \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\ell
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}

J'espère que vous avez apprécié le beau $\ell$ ; pour se fixer les
idées sur les deux modes mathématiques, voici les mêmes formules mais
incrustées dans le texte.  Donc d'abord la sommation :
$\sum_{i=0}^{n}q^i=\frac{\ \:1-q^{n+1}}{1-q}$, ensuite l'intégrale :
$\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=\ln(x)$, et enfin la limite :
$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\ell$.





\section{Des symboles les uns sur les autres}

\subsection{L'opérateur {\mdseries\ttfamily not}}
\index{opérateur \expandafter\string\csname not\endcsname}

L'opérateur \ltxcom{not} permet de produire la « négation » d'une
relation :
\begin{ltxexemple}
  Soit $x \not\in I$ un réel...
\end{ltxexemple}
le résultat est donc un « slash » sur le symbole suivant.
\textbf{Attention}, cet opérateur n'est pas très performant :
\verb+$\not\longrightarrow$+ donne : $\not\longrightarrow$, mais est
satisfaisant pour les symboles d'une largeur raisonnable.

\subsection{Accents}
\index{accents!mathématique} Il est souvent utile\footnote{En réalité
  les mathématiciens dignes de ce nom raffolent de ce genre de petits
  chapeaux au dessus des symboles ; certains en superposent même deux,
  voire trois...} d'accentuer les symboles en guise de notation
particulière. Voici les accents disponibles :
\begin{center}
  \begin{tabular}{lc@{\quad}lc@{\quad}lc}
    \ltxcom{hat}\verb+{x}+  &$\hat{x}$  & \ltxcom{check}\verb+{x}+&$\check{x}$&
    \ltxcom{breve}\verb+{x}+&$\breve{x}$\\
    \ltxcom{acute}\verb+{x}+&$\acute{x}$& \ltxcom{grave}\verb+{x}+&$\grave{x}$&
    \ltxcom{tilde}\verb+{x}+&$\tilde{x}$\\ 
    \ltxcom{bar}\verb+{x}+  &$\bar{x}$  & \ltxcom{dot}\verb+{x}+&$\dot{x}$&
    \ltxcom{ddot}\verb+{x}+ &$\ddot{x}$\\  
  \end{tabular}
\end{center}

\subsection{Vecteurs}
\index{vecteurs} Il existe deux\footnote{Le package \ltxpack{esvect}
  d'Eddie \textsc{Saudrais} permet de produire des vecteurs avec des
  flèches mieux dessinées que celles proposées ici.} façons d'obtenir
un vecteur :
\begin{itemize}
\item \ltxcom{vec} pour les petits symboles car \ltxcom{vec} est une
  commande d'accentuation ;
\item \ltxcom{overrightarrow} dans les autres cas.
\end{itemize}
\begin{ltxexemple}
  Soit $\overrightarrow{A\!B}$ défini 
  dans la base 
  $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
\end{ltxexemple}
Notez que \verb+$\vec{A\!B}$+ aurait donné : $\vec{A\!B}$ (voir aussi
le paragraphe~\ref{sec-maths-espace} pour la signification de la
commande \ltxcom{!}).
Remarquez également les commandes \ltxcom{imath} et \ltxcom{jmath} 
produisant les lettres « i » et « j » sans point : $\imath$ et $\jmath$.

\subsection{Commande {\mdseries\ttfamily stackrel}}
La commande \ltxcom{stackrel} permet de poser deux symboles l'un sur
l'autre :
\indexcom{stackrel}
\begin{ltxcode}
  \stackrel{ø\marg[1]{symb}ø}{ø\marg[2]{symb}ø}
\end{ltxcode}
met le \marg[1]{symb} sur \marg[2]{symb}.  Par exemple :
\begin{ltxcode}
  x\stackrel{f}{\longmapsto}y
\end{ltxcode}
donne : $x\stackrel{f}{\longmapsto}y$.


\section{Deux principes importants} \label{sec-spacetxt}
Pour bien comprendre la manière dont \LaTeX{} génère les formules, il
faut saisir les deux principes suivants :
\begin{description}
\item[Espaces :] \LaTeX{} ignore les espaces entre les symboles
  mathématiques ; ainsi : \verb/$x+1$/ produira la même formule que
  \verb/$x + 1$/. C'est \LaTeX{} qui insère les espaces à l'endroit
  qu'il juge le plus judicieux ;
\item[Texte\footnotemark{} :] tout groupe de symboles est considéré
  comme un groupe de variables ou fonctions ; ainsi 
  \verb+$x=t avec t>0$+ 
  produira $x=t avec t>0$ et non ce que vous espériez : $x=t$ avec $t>0$.
\end{description}
\footnotetext{L'insertion de texte dans une formule ne devient un
  problème que dans un environnement de la famille
  \texttt{displaymath}, puisque vous pouvez toujours écrire
  « \texttt{\$x=t\$ avec \$t>0\$} », bien sûr !}  Une fois ces deux
principes acquis, voyons comment on peut faire avec.

\subsection{Espaces en mode mathématique}
\label{sec-maths-espace}

\index{espace!mathématiques} Tout d'abord, sachez que \LaTeX{} fait un
choix d'espacement qui est en général correct. Cependant le jour où
vous aurez à jouer l'\rlap{XXXXX}\rlap{///////}enculeur de mouche, les
commandes du tableau \ref{tab-space} vous permettront d'insérer un ou
des espaces dans des formules. Dans ce tableau, on montre l'effet des
commandes d'espacement entre deux symboles $\Box$.
\begin{table}
  \caption{Espacement en mode mathématique}\label{tab-space}
  \begin{center}
    {\addtolength{\extrarowheight}{5pt}
    \begin{tabular}{|ll|ll|ll|ll|}
      \hline
      \verb+\!+ & $\Box\!\Box$ &
      \emph{(rien)} & $\Box\Box$ &
      \verb+\,+ & $\Box\,\Box$ &
      \verb+\:+ & $\Box\:\Box$ \\
      \hline
      \verb+\;+ & $\Box\;\Box$ &
      \verb*+\ + & $\Box\ \Box$ &
      \ltxcom{quad} & $\Box\quad\Box$ &
      \ltxcom{qquad} & $\Box\qquad\Box$ \\
      \hline
    \end{tabular}}
  \end{center}
\end{table}
%D Peut-être manque-t-il dans ce tableau l'espacement normal du mode mathématique.

Pour ce qui concerne les mouches, sachez que l'auteur de ce manuel a
sournoisement inséré un certain nombre d'espacements au numérateur du
calcul de la somme des termes de la suite géométrique
(\S~\vref{sec-sumintlim}), pour aligner les deux~$q$ de la fraction.
Voici ce que donnait la formule par défaut :
\begin{displaymath}
\sum_{i=0}^{n}q^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\end{displaymath}
et voyons si les histoires de $q$ vous donnent le sens de
l'observation.

\subsection{Texte en mode mathématique}
Le moyen le plus simple d'insérer du texte dans une formule est de
de le mettre  « en boîte » et d'insérer quelques espaces :
\begin{ltxexemple}
  Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ :
  \begin{displaymath}
    u_n=\ln n\quad
    \mbox{et}\quad v_n=(1+\frac{1}{n})^n
    \label{ex-maths-suite}
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}
Vous trouverez des détails sur la commande \ltxcom{mbox} à la section
\vref{sec-boitesimple}. Si vous avez pensé à mettre en route le
package \ltxpack{amsmath} vous serez en mesure d'utiliser la commande
\ltxcom{text} en lieu et place de \ltxcom{mbox}.

\section{Array : simple et efficace}
\label{sec-array}
\index{tableau!mathématique}
L'environnement \ltxenv{array} est un environnement qui vous permettra
de produire la grande majorité de vos formules. Comme son nom
l'indique il range des objets en ligne et colonne. En fait c'est le
pendant de l'environnement \ltxenv{tabular} du mode texte. Et comme
\ltxenv{tabular}, \ltxenv{array} ne passe pas à la ligne.

\subsection{Comment ça marche}
La syntaxe rappelle celle de \ltxenv{tabular} :
\begin{ltxcode}
  \begin{array}[ø\marg{vpos}ø]{ø\marg{format}ø} ... \end{array} 
\end{ltxcode}
où \marg{format} précise pour chaque colonne l'alignement :
\verb+c+~pour centré, \verb+l+~ pour aligné à gauche et \verb+r+~pour
aligné à droite ; l'argument optionnel \marg{vpos} spécifie quant à
lui le positionnement vertical du \voir{sec-tableaux}{tableau}.  Comme
dans les tableaux, on notera l'utilisation des commandes :
\begin{itemize}
\item \verb+&+ comme séparateur de colonne ;
\item \verb+\\+ pour passer à la ligne.
\end{itemize}
\begin{ltxexemple}
  Soit $A=\begin{array}{rc} 
    -1 & 1 \\ 
     3 & 4 
  \end{array}$ la matrice ...
\end{ltxexemple}
Voici un exemple utilisant les points de suspensions :
\labelexemple{ex-maths-matrice}
\begin{ltxexemple}
  \begin{displaymath} A=\left[\begin{array}{ccc}
      a_{00} & \dots & a_{0n}\\
      \vdots & \ddots & \vdots\\
      a_{n0} & \dots & a_{nn}
    \end{array}\right]\end{displaymath}
\end{ltxexemple}


\subsection{Array et les délimiteurs}
\index{matrice}
\index{délimiteurs}
\index{accolades}
\index{parenthèses}
On utilise couramment l'environnement \ltxenv{array} pour produire des
matrices. Il faut alors avoir recours à des \emph{délimiteurs}.  Ces
délimiteurs sont de la famille des parenthèses et permettent
d'englober un objet mathématique entre crochets, accolades, etc.  La
syntaxe est la suivante :
\begin{ltxcode}
  \leftø\marg[1]{delim}ø ø\marg{mobjet}ø \rightø\marg[2]{delim}ø
\end{ltxcode}
où \marg[1]{delim} et \marg[2]{delim} sont deux délimiteurs et
\marg{mobjet} un objet mathématique.

Parmi les délimiteurs, voici les plus usités :
\begin{center}
  \addtolength{\extrarowheight}{4pt}
  \begin{tabular}{cc@{\qquad}cc}
    \verb+(+ et \verb+)+               & $(\Pi)$             &
    \verb+[+ et \verb+]+               & $[\Pi]$             \\
    \verb+\{+ et \verb+\}+             & $\{\Pi\}$           &
    \ltxcom{lfloor} et \ltxcom{rfloor} & $\lfloor\Pi\rfloor$ \\
    \ltxcom{lceil} et \ltxcom{rceil}   & $\lceil\Pi\rceil$   &
    \ltxcom{langle} et \ltxcom{rangle} & $\langle\Pi\rangle$  \\
    \verb+|+                           & $|\Pi|$             &
    \verb+\|+                         & $\|\Pi\|$           
  \end{tabular}
\end{center}
L'intérêt des délimiteurs est qu'ils s'adaptent automatiquement à la
taille des objets qu'ils entourent :
\begin{ltxexemple}
  soit  $I=
  \left[\begin{array}{cc} 
         1&0 \\ 0&1
        \end{array}\right]$ 
  la matrice identité.
\end{ltxexemple}
On peut également reprendre l'exemple~\vref{ex-maths-suite} avec des
délimiteurs pour ajuster la taille des parenthèses :
\begin{ltxexemple}
  Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ :
  \begin{displaymath}
    u_n=\ln n\quad\mbox{et}
    \quad v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}
\begin{nota}
Il doit toujours y avoir une commande \ltxcom{right} pour une commande
\ltxcom{left}.
Cependant, il n'est pas nécessaire d'avoir les mêmes symboles à
droite et à gauche.   
\end{nota}
Voici un exemple où on utilise la commande \ltxcom{right.} pour
spécifier que l'on n'utilise pas de symbole à droite :
\begin{ltxexemple}
  soit $ S_i=\left\{\begin{array}{rl}
      -1  & \mbox{si $i$ est pair}    \\
       1  & \mbox{sinon.}
  \end{array}\right.$
\end{ltxexemple}


\subsection{Pour vous simplifier la vie...}
\label{sec-math-amsmath-matrice}

Le package \ltxpack{amsmath} permet de saisir plus simplement les
matrices avec notamment deux environnements : \ltxenv{pmatrix} (p pour
parenthèse) et \ltxenv{bmatrix} (b pour \emph{bracket}).
\begin{ltxexemple}
  \begin{displaymath}
    \bar{\bar{\sigma}}=\begin{bmatrix}
      \sigma_{11} & \sigma_{12} \\
      \sigma_{21} & \sigma_{22} \\
    \end{bmatrix}
  \end{displaymath}
\end{ltxexemple}



\section{Équations et environnements}
\label{sec-envmath}
\index{mathématiques!formules} Nous présenterons dans ce paragraphe
trois environnements standard de \LaTeX{} permettant de produire des
formules.

\subsection{L'environnement {\mdseries\ttfamily displaymath}}
\label{sec-dspmath}
Vous l'avez compris, si vous avez lu jusqu'ici, \ltxenv{displaymath}
affiche une formule centrée, interrompant le paragraphe.  Un raccourci
agréable de :
\begin{ltxcode}
  \begin{displaymath}...\end{displaymath}
\end{ltxcode}
 est : \verb+\[...\]+.
Ainsi :
\begin{ltxexemple}
  Distance colorimétrique :\[
  \Delta E=\sqrt{
    \Delta L^{*2}+ \Delta a^{*2}
   +\Delta b^{*2}} \]
\end{ltxexemple}

\subsection{L'environnement {\mdseries\ttfamily equation}}
\label{sec-envequ}
L'environnement \ltxenv{equation} est l'équivalent du précédent, sauf
qu'il numérote la formule.
\begin{ltxexemple}
  À retenir : si $a>0$ et $b>0$,
  \begin{equation}
    \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
  \end{equation}
\end{ltxexemple}
\begin{note}
  L'option de classe de document \verb+leqno+ met le numéro des
  équations à gauche.  Et l'option \verb+fleqn+ aligne les équations
  à gauche, au lieu de les centrer.
\end{note}

\subsection{Formules multi-lignes}
\label{sec-mullgnequ}
\index{equation!multiligne@équation!multiligne}

\begin{nota}
  Dans une précédente édition, nous finissions la présentation des
  environnements standard par l'environnement \ltxenv{eqnarray} qui
  permet de produire des formules de plusieurs lignes. \textbf{Sachez
    que c'est mal}. Il existe d'ailleurs des écrits à ce sujet (lire
  par exemple \cite{avoid-eqnarray} ou \cite{peches-latex}), vous
  expliquant comment produire des documents « propres ». Prenez bien
  conscience qu'utiliser \ltxenv{eqnarray} (et bien d'autres choses)
  \textbf{est un péché}, et que si vous cédez malgré tout à la
  tentation, l'inquisition vous retrouvera un jour ou l'autre par
  l'intermédiaire d'un moteur de recherche. Aucune confession ou
  indulgence ne pourra vous sortir de ce mauvais pas, vous êtes prévenus.
\end{nota}
Nous vous présentons donc ici l'environnement \ltxenv{align} du
package \ltxpack{amsmath} :
\begin{itemize}
\item \verb+\\+ passe à la ligne ;
\item chaque ligne est numérotée sauf si la commande \ltxcom{nonumber}
  est présente dans la ligne ;
\item on procède à l'alignement avec deux\footnote{Puisqu'il y a trois
    colonnes.} opérateurs \verb+&+.
\end{itemize} 
\begin{ltxexemple}
  \begin{align}
    (a+b)^2 & =  (a+b)(a+b)\nonumber\\
            & =  a^2+b^2+2ab 
  \end{align}
\end{ltxexemple}
\begin{note}
  Il existe une forme « étoilée » de l'environnement : \ltxenv{align*}
  où aucune des lignes n'est numérotée.  Si vous voulez faire
  référence à certaines lignes d'un \ltxenv{align}, il vous faudra
  poser autant de \ltxcom{label} nécessaires sur chaque ligne
  correspondante.
\end{note}
Pour faire numéroter une équation s'étalant sur plusieurs lignes on
peut utiliser l'environnement \ltxenv{split} (lui aussi fourni avec
\ltxpack{amsmath}) :
\begin{ltxexemple}
  \begin{equation}
    \begin{split}
      (a+b)^2 & =  (a+b)(a+b)\\
      & =  a^2+b^2+2ab 
    \end{split}
  \end{equation}
\end{ltxexemple}



\section{Styles  en mode mathématique}
\subsection{Fontes}
\index{fontes!mathématiques} \index{mathématiques!fontes} \LaTeX{}
fournit plusieurs commandes permettant de changer de fontes dans les
modes mathématiques.  Par défaut tout symbole ou suite de caractères
(autre qu'une fonction) est produit en italique dans le document
final. Or dans certains cas, il est utile de pouvoir forcer le style
de fonte.  Voici comment réaliser un tel exploit :
\begin{center}
  \begin{tabular}{lc}
    \verb+Soit $+\ltxcom{mathit}\verb+{A\in\Phi}$+ &    Soit $\mathit{A\in\Phi}$ \\
    \verb+Soit $+\ltxcom{mathrm}\verb+{A\in\Phi}$+ &    Soit $\mathrm{A\in\Phi}$ \\
    \verb+Soit $+\ltxcom{mathbf}\verb+{A\in\Phi}$+ &    Soit $\mathbf{A\in\Phi}$ \\
    \verb+Soit $+\ltxcom{mathsf}\verb+{A\in\Phi}$+ &    Soit $\mathsf{A\in\Phi}$ \\
    \verb+Soit $+\ltxcom{mathtt}\verb+{A\in\Phi}$+ &    Soit $\mathtt{A\in\Phi}$ \\
    \verb+Soit $+\ltxcom{mathcal}\verb+{A}\in\Phi$+&    Soit $\mathcal{A}\in\Phi$ \\
  \end{tabular}
\end{center}
\begin{nota}
  La commande \ltxcom{mathcal} doit prendre exclusivement des lettres
  majuscules latines comme argument. Dans le cas contraire, les résultats
  seront farfelus. Par exemple, la séquence :
  \begin{ltxcode}
    \mathcal{abcd\Gamma}
  \end{ltxcode}\continuenota%
  donne $\mathcal{abcd\Gamma}$.
\end{nota}

\subsection{Taille des symboles}
\index{mathématiques!style} \LaTeX{} distingue quatre \emph{styles}
d'écriture des formules. Ces modes sont utilisés suivant la «
situation » dans laquelle se trouve \LaTeX{} lorsqu'il produit une
partie d'une formule :
\begin{description}
\item[texte]  pour une formule insérée dans le texte courant ;
\item[equation] pour une formule sous forme d'\emph{équation} ;
\item[indice] pour l'écriture des indices ;
\item[sous-indice] pour les indices d'indices
\end{description}
chacun de ces modes peut être enclenché explicitement par l'utilisateur
grâce aux déclarations suivantes :
\begin{itemize}
\item \ltxcom{textstyle} pour le mode texte ;
\item \ltxcom{displaystyle} pour le mode équation ;
\item \ltxcom{scriptstyle} pour le mode indice ;
\item \ltxcom{scriptscriptstyle} pour le mode indice d'indice
\end{itemize}

Voici deux exemples illustrant comment forcer le mode \emph{texte} en
mode \emph{équation} et inversement :
\begin{ltxexemple}
  deux produits : $\prod_{1}^{n}f_i$ 
  et $\displaystyle\prod_{1}^{n}f_i$ 
  
  et inversement :
  \[ \prod_{1}^{n}f_i 
  \mbox{ et }\textstyle\prod_{1}^{n}f_i \]
\end{ltxexemple}

\subsection{Créer de nouveaux opérateurs}
\label{sec-mathop}

Imaginez que vous ayez besoin de créer un opérateur spécial nommé «
burps ». Il suffira de procéder comme suit :
\begin{ltxexemple}
  \newcommand{\burps}{%
    \mathop{\textrm{burps}}}  
  $x=\burps_i f(i)$
\end{ltxexemple}
Un autre exemple, pour franciser la fonction « arcsinus » (produisant
par défault $\arcsin$), on pourra écrire :
\begin{ltxexemple}
  $\theta = \arcsin x$
  \renewcommand{\arcsin}{%
    \mathop{\textrm{Arcsin}}\nolimits}
  $\theta = \arcsin x$
\end{ltxexemple}
La commande \ltxcom{nolimits} indique que l'opérateur concerné ne
fera pas usage d'arguments en indice ou exposant comme le font les 
opérateurs \ltxcom{lim}, \ltxcom{int}, etc. En outre les deux
exemples précédents utilisent les commandes \ltxcom{newcommand} et
\ltxcom{renewcommand} dont il est question au
paragraphe~\vref{sec-newcommand}.

Enfin une autre voie possible si vous avez pris soin de charger le
package \ltxpack{amsmath} est de déclarer dans le préambule :
\begin{ltxcode}
  \DeclareMathOperator*{\vlunch}{vlunch}
  \DeclareMathOperator{\zirgl}{Zirgl}
\end{ltxcode}
\begin{ltxexemple}
  \[x=\vlunch_i f(\theta)\]
  où $\theta = \zirgl y$
\end{ltxexemple}

\section*{Conclusion}
Ce chapitre présente les fonctions de base pour produire des
formules. Ces commandes suffisent pour la plupart des documents
scientifiques.  Si vous êtes amenés à rédiger des documents truffés de
formules complexes, il est possible que les seules macros de \LaTeX{}
ne suffisent plus.  C'est pourquoi la célèbre \emph{American
  Mathematical Society} a conçu pour vous un package nommé
\AmS{}\TeX{} (mise en route : \verb+\usepackage{amsmath}+) capable de
générer des formules particulièrement « tordues. »




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../framabook"
%%% End: 
